Comportamiento de una sección de hormigón

Comportamiento de una sección de hormigón bajo cargas de flexión y flexocompresión en la etapa de agotamiento

En la Fig. 1 se muestra gráficamente el proceso que se desarrollara en este trabajo para determinar la capacidad resistente de cualquier tipo de sección con refuerzo localizados en varios niveles y sometida a diferentes estados de cargas: axiales, de flexión o la combinación de cargas axiales y flexión.

Fig. 1 Proceso para determinar la capacidad resistente de una sección de concreto

Como caso general se considerará una sección de cualquier forma con la única condición de que sea simétrica en el plano que se desarrolla el momento flector y que la distribución del refuerzo de las barras de acero sea igualmente simétrica a dicho plano. El proceso indicado implica la solución de un sistema de ecuaciones compuesta por:

1. – Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones.
2. – Ecuaciones físicas de los materiales.
3. – Ecuaciones de equilibrio.

La solución de este sistema de ecuaciones permitirá establecer las vías necesarias para obtener la metodología para el diseño y revisión de secciones. Solo en algunos casos sencillos se podrán obtener procesos de diseño directos, pero en la mayoría de los problemas solo se podrá utilizar el proceso de comprobación, o sea proponer ciertos refuerzos y verificar que la sección resiste las cargas actuantes.

Hipótesis de diseño

Las normas establecen ciertas suposiciones de diseño para determinar la resistencia a carga axial, flexión y la combinación de carga axial y flexión. Dichas hipótesis están íntimamente relacionadas con el sistema de ecuaciones planteados anteriormente. En lo que sigue se estudiara cada una por separado para posteriormente integrarlas tal como se muestra en la Fig. 1.

Compatibilidad de deformaciones

La primera hipótesis es conocida como las secciones planas se mantienen planas. Esto quiere decir que decir que se considera una distribución lineal de las deformaciones en el concreto y en el refuerzo. Las deformaciones se consideran proporcional a la distancia medida desde el eje neutro. Esta hipótesis es muy importante en el diseño para determinar las deformaciones y sus correspondientes tensiones en el refuerzo. En la Fig. 2 se muestra una viga sometida a flexión. Se ha escogido una rebanada en la sección central de longitud Δl. Bajo el efecto de los momentos flectores, la zona superior se acorta Δc/2 a ambos lados y la inferior se alarga Δs/2 a ambos lados. Nótese que en este caso la rebanada se deforma, pero se mantiene vertical, es decir, la sección no gira, aunque se deforma debido a estar localizada en el centro. Las deformaciones unitarias serán εc = Δc/Δb y εs = Δs/Δb dando lugar a un diagrama de deformaciones unitaria como el indicado. Este diagrama muestra las deformaciones unitarias de la sección de modo que el diagrama es lineal tal como se plantea en la hipótesis inicial. Este diagrama no indica cuanto se mueve la sección sino el valor de las deformaciones unitarias en cada punto de la sección transversal. Normalmente este diagrama está asociado con el giro del plano de la sección, pero como se aprecia en este caso la sección no gira. El diagrama solo representa las deformaciones en cada nivel que nos permitirá obtener los esfuerzos en el acero a diferentes niveles y la zona comprimida del concreto.

Fig. 2 Diagrama de deformaciones unitarias. La sección plana se mantiene plana.

El diagrama de la Fig 2 corresponde al caso de flexión pura, si ahora se aplica una carga axial de compresión, al diagrama de deformaciones debido a la flexión se le adiciona el efecto de la deformación de compresión uniforme, dando lugar a los tres posibles casos mostrados en la Fig. 3

Fig. 3 Estados deformacionales para diferentes estados deformacionales

Para un estado deformacional dado se pueden establecer las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones entre los diferentes niveles en que están localizados los refuerzos y el nivel en que se desarrolla la máxima compresión del concreto εc = 0.003

εc/c = εsp/(c-dp) = εs1/(c-d1) = εs2/(c-d2) = εs/(c-ds) = εsi/(c-dsi)

A veces es necesario relacionar las deformaciones de los refuerzos con un estado deformacional fijado de antemano, es decir para cierto valor de k = c/d, luego:

εc/k = εsp/(k-dp/ds) = εs1/(k-d1/ds) = εs2/(k-d2/ds) = εs/(k-1) = εsi/(k-di/ds)

Para εc = 0.003 se tiene para el refuerzo i y el refuerzo en el borde inferior: en que por ejemplo para el acero en el borde inferior, para k = 0.375 εs = -0.005 Todas las ecuaciones obtenidas en el estado deformacional relacionan las deformaciones de la fibra más comprimida del concreto con las deformaciones de los diferentes niveles de los refuerzos localizados en la sección.

Ecuaciones físicas de los materiales

Acero de refuerzo ordinario En la Fig. 4 se muestra la curva tensión – deformación del acero de refuerzo ordinario con una tensión de fluencia fy = 60000 psi y una tensión de rotura fr = 85000 psi. El módulo de elasticidad Es = 29000000 psi y la deformación unitaria en la fluencia es de εy = 0.002069 que la norma permite aproximar a εy = 0.002.

Fig. 4 Ecuación física del acero de refuerzo ordinario

El comportamiento elástico inicial responde a la ecuación:

fs = εs.Es for εs < εy

fs = 60000 psi εs > = εy

mientras que la zona plástica se considera fs = fy constante hasta la rotura del acero. Nótese que los valores máximos de εs están en el entorno de 0.01 – 0.03 en el límite de la fluencia y de 0.15 – 0.20 en la rotura. Para el concreto, la ecuación física es más compleja de definir. Se tomará el criterio del ACI 318, aunque existen diferentes enfoques que pudieran utilizarse igualmente. El objetivo que pretendemos aquí es dar una guía, y el que lo desee puede utilizar el diagrama que corresponda a la norma utilizada. En la Fig. 5 se muestra la curva de un concreto sometido a compresión, con la máxima deformación de 0.003 según establece el Código ACI y el valor máximo de compresión f’c a una deformación de εc = 0.002. ElACI 318 permite utilizar una simplificación de este diagrama por un diagrama rectangular equivalente con una compresión máxima de 0.85f’c y que cubre un ancho de β1.εc medida a partir de la máxima deformación. .

Fig. 5 Ecuación física del concreto. Diagrama rectangular equivalente.

Este diagrama rectangular equivalente es el resultado de un ensayo muy original donde se pudo evaluar para diferentes calidades de concreto la magnitud de la resultante de las tensiones en el concreto y la posición de dicha resultante, con lo cual se definen lo valores de β1 para cada calidad de concreto. El valor de β1 varia con la calidad del concreto Para valores de fc < 4000 psi se tomará β1 = 0.85

Ecuaciones de equilibrio de la sección

Para completar las ecuaciones necesarias que resuelven el problema planteado faltan las ecuaciones de equilibrio que aseguran la estabilidad de la sección. Estas son: Ecuación de equilibrio de fuerzas y ecuación de equilibrio de momentos La primera de las ecuaciones se refiere al equilibrio entre las resultantes de los esfuerzos en los materiales componentes, hormigón y refuerzos de acero y las acciones internas generadas por las cargas exteriores. Que se traduce en:

Σ F = 0

y la segunda se refiere al equilibrio de momentos de dichas fuerzas, que se indica como:

Σ M = 0

En ambas ecuaciones, el equilibrio se refiere entre las acciones exteriores y las reacciones internas de los materiales componentes, es decir que las acciones exteriores deben estar equilibradas por las correspondientes resultantes de los esfuerzos internos actuando en las diferentes áreas del concreto y de las barras de acero. En el caso de flexión pura, al no existir fuerza axial, el equilibrio será entre las fuerzas resultantes del acero en tracción y las fuerzas resultantes de compresión en el concreto y en el acero que este comprimido. En el caso de la flexo-compresión, el equilibrio de fuerzas incluye la carga axial exterior dando diferentes resultados acordes a la magnitud de la fuerza exterior. Esto trae como consecuencia que en la flexión solo se tendrá un resultado, mientras que en la flexo-compresión existirán muchos resultados posibles que quedará representado en el llamado diagrama de interacción. Lo cual no es más que el conjunto de estados de carga últimos que puede alcanzar una misma sección. En la Fig. 6 se muestra una sección rectangular con refuerzos en diferentes niveles. Las áreas Así indican la suma de las áreas de todas las barras localizadas en un mismo nivel y que por supuesto son simétricas al eje vertical. Se supone que la sección está sometida a un estado deformaciones que corresponde con uno de los posibles fallos de la sección cuando la fibra superior alcanza la deformación máxima del concreto de εc = 0.003.

Fig. 6 Ecuaciones de equilibrio para una sección rectangular con refuerzo en diferentes niveles.

Las ecuaciones de equilibrio serán: Hasta aquí se han obtenido las ecuaciones que nos permitirá obtener la capacidad nominal de la carga axial Pn que es capaz de resistir la sección y el momento flector nominal Mn que es capaz de resistir independiente o conjuntamente con la carga axial Pn.

Resistencia de cálculo ϕPn y ϕMn

Las normas establecen que las secciones deben tener una resistencia nominal multiplicada por cierto factor de reducción de resistencia ϕ dado por la norma para cada caso. Además, se establece los elementos estructurales deben tener una resistencia de diseño en todas las secciones ϕSn mayor o igual que la resistencia requerida U calculada para los factores de carga y fuerzas en las combinaciones requeridas por la Norma de diseño utilizada.

ϕ Sn >= U

En nuestro caso esta ecuación se traduce en:

ϕ Pn >= Pu

ϕ Mn >= Mu

El objetivo que se persigue en este trabajo es obtener los valores ϕ Pn y ϕ Mn que son las capacidades máximas de la sección. Los valores de carga factorizadas Pu y Mu son obtenidas mediante análisis estructural para las condiciones y tipo de estructura analizada. La norma establece los siguientes valores de ϕ mostrado en la tabla de la Fig. 7.

Fig.7 Valores de ϕ

Requerimientos de la norma DE ACI 318-19 para determinar la capacidad última de secciones con momentos de carga axial

La Norma de ACI establece una serie de requisitos en cuanto a la determinación de la capacidad ultima de la sección. a.) La deformación del concreto en la fibra más comprimida alcanzara el valor de εc = 0.003. b.) La deformación máxima del refuerzo más cercano al borde traccionado no puede superar en flexión al valor εs = 0.005. Esto tiene como objetivo evitar que la sección alcance un fallo de tipo frágil. En nomas anteriores al 2019 se consideraba εc = 0.004. c.) La capacidad máxima de una sección con carga axial de compresión Po viene dada por: donde Ag es el área total de la sección de concreto y Ast el área total del refuerzo. Para tener en cuenta una excentricidad accidental de la carga axial, se establece limitar la capacidad nominal de la sección entre 80 a 85 % de la capacidad máxima Po. Este porcentaje equivale a tener la carga con excentricidades del orden de 0.10h a 0.15h para estribos rectangulares y espirales respectivamente. En definitiva, esta especificación tiene en cuenta que es muy poco probable que la carga axial este exactamente localizada en el centroide de la sección. Fig.8 La máxima carga axial nominal Pn no debe exceder:

Pnmax := 0.8 ⋅ Po para estribos rectangulares

Pnmax := 0.85 ⋅ Po para estribos en espiral

Nótese que en la fórmula de Po se ha descontado al área de concreta Ag los espacios donde se localizan las barras de acero Ast. Este descuento no se ha establecido en ninguna otra situación donde el refuerzo este localizado en la zona comprimida del concreto.

Fig. 8 Efecto de la carga axial con excentricidad accidental

Ejemplo de una sección en flexión con refuerzo a diferentes niveles

comportamiento de una sección de hormigón

Fig. 9

comportamiento de una sección de hormigón

Fig.10

Sección regular 12 X 24 

Áreas del refuerzo y su posición

.      Asp ∶= 0.93·in²      3 # 5        dp ∶= 2.5·in

.      As1 ∶= 0.62·in²      2 # 5        d1 ∶= 8.5·in

.      As2 ∶= 0.62·in²      2 # 5        d2 ∶= 15.5·in

.      As ∶= 0.93·in²        3 # 5        d ∶= 21.5·in

.   Ast ∶= Asp + As1 + As2 + As = 3.1·in²

.      Asmin ∶= max(((3·psi^½·√fc·b·d)/fy), 0.0033·b·d)           Asmin = 0.851·in²

Proceso de tanteo fijando c menor que Deformaciones y tensiones en cada nivel de refuerzo (compresión +) Fuerzas en el refuerzo y en el concreto para el valor “c” supuesto La resultante de todas las fuerzas tiene que ser igual a “0” El momento flector nominal y favorable serán:

Comportamiento ejemplo de sección regular 

Diagrama de interacción de sección regular

comportamiento de una sección de hormigón

Fig. 11

Traducción de: Ivet Llerena (Eastern Engineering Group) Dibujos estructurales por: Eastern Engineering Group © 2021 Este artículo fue escrito por Ernesto Valdés y publicado por Eastern Engineering Group. Reservados todos los derechos.