Fórmula aproximada del esfuerzo de flexión

Formula Cálculo aproximado del refuerzo de una sección de concreto sometida a la flexión simple

Introducción

En ciertas ocasiones es necesario calcular el refuerzo en la sección de una viga de concreto sometida a flexión de forma aproximada, bien sea para verificar cálculos obtenidos en programas, para dar una respuesta en la obra, para el dimensionamiento preliminar en un anteproyecto, etc.

La fórmula que se indicará más adelante ha sido ampliamente divulgada y se aplica para los fines indicados anteriormente, sólo que queda la duda de cuan precisa y confiable es su aplicación, así como el rango en que dicha fórmula es válida.

La intención de este trabajo es precisamente esclarecer el origen y la validez de dicha ecuación, su confiabilidad, asi como definir su rango de aplicación.

La fórmula es:

donde:

 

As = área de acero requerido ( in2 ) Fig. 1 Sección rectangular d = peralto efectivo ( in )

Mu = momento factorizado ( kip.ft )

Explicación del origen de la ecuación aproximada

Una sección rectangular sometida a flexión simple como se muestra en la Fig. 2 llega al agotamiento cuando el concreto en la fibra más comprimida alcanza la deformación unitaria de 0.003, mientras que el acero en tracción más cercano al borde traccionado tiene una deformación εs > 0.004.(Sección 9.3.3.1 ACI 318 -14) Este límite en la deformación el refuerzo pretende mitigar el fallo tipo frágil de la sección en caso de una sobrecarga en la viga.

Lo anterior conduce a que la sección tenga la zona superior comprimida cuya resultante C tiene que ser igual a la fuerza de tensión del acero T para cumplir la ecuación de equilibrio de fuerzas ΣF = 0

 

 

Fig. 2 Sección rectangular sometida a flexión en el estado de agotamiento

 

Como que la deformación del refuerzo εs > εy = 0.002, la fuerza en el acero tendrá un valor de T = As.fy. La resultante de las compresiones en el concreto tendrá un valor de C = 0.85f’c.β1.c.b = 0.85f’c.β1.k.d siendo c = k.d.

De la ecuación de equilibrio C = T , se tiene:

 

0.85f’c.β1.k.d.b = As.fy Llamando cuantía mecánica ωR = As.fy/b.d.f’c,

Resulta:

ωR = 0.85β1.k

 

 

La ecuación de momento ΣM = 0 quedará:

Mn = 0.85f’c.β1.k.d.b(d – β1.k.d/2)

Llamando momento específico μR = Mn/b.d2.f’c y sustituyendo ωR = 0.85β1.k

μn = ωR(1-ωR/1.7)

 

Ecuación adimensional que representa la capacidad de una sección sometida a flexión simple, o sea, la ecuación relaciona el momento nominal que es capaz de resistir una sección a medida que la cantidad de refuerzo es incrementada.

 

Siendo Mu = ϕ Mn y μn = ϕ μR se tiene que

.    μu = Φ•ωR((1-ωR)/(1.7))

 

Según el ACI 318 -14 el valor de ϕ = 0.9 cuando εs < 0.005 (control por traccion) y disminuye para valores menores de εs. (Tabla 21.2.2)

 

 

 

Esta ecuación tiene un límite inferior que lo define la cuantía mínima y un límite superior que lo define la menor deformación unitaria del refuerzo ξs = 0.004.

 

ωRmin  = 0.00333x60000psi/4000psi = 0.05

 

kmax = 0.003/(0.003+0.004) = 0.4286 ωRmax = 0.85×0.85×0.4286 = 0.31

 

En la Fig. 3 se muestra la curva de variación μu vs ωR para el rango completo de ωR y en línea más gruesa el rango de valores comprendido entre la cuantía mecánica mínima ωR = 0.05 y la cuantía mecánica máxima ωR = 0.31.

En lo que sigue, consideraremos varias simplificaciones:

1. La resistencia del concreto se fijará en f’c = 4000 psi. La razón es bien sencilla, la zona comprimida de una sección a flexión es muy reducida y no es económico utilizar valores muy elevados de fc. En caso de que f’c sea mayor, la ecuación resulta conservadora. Esto conlleva a que se considere β1 = 0.85

     2.La resistencia del acero se fijará en fy = 60000 psi

     3.Se toma como criterio que la cuantía máxima no sobrepase del 65% de la cuantía que genera la máxima capacidad de la sección, es decir, ωRmax = 0.31×0.65 = 0.2, que sería del orden de 4 veces la cuantía mínima de ωRmin = 0.05

Evaluando la ecuación de μu para ωR = 0.2 se tiene

 

μu = 0.9.0.2(1-0.2/1.7) = 0.16

 

La función lineal que pasa por el origen y por el punto de la curva ωR = 0.2, μu = 0.16 será:

 

μu/ωR = 0.16/0.2 = 0.8

 

μu = 0.8 ωR o sea:

 

Mu/b.d2.f’c = 0.8.As.fy/b.d.f’c donde:

 

As = Mu/0.8.d.fy ajustando a las unidades, queda:        As = Mu(kip.ft).12/0.8×60(ksi) que resulta:

 

.  As = (Mu)/(4•d)

 

  As =area del refuerzo en in2

 

  Mu = Momento factorado en kip.ft      d = peralto efectivo en in

 

Con lo cual queda demostrada la ecuación tradicional, siendo totalmente válida para las condiciones planteadas dando resultados del lado seguro cuando la cuantía geométrica es menor que As/bd = 0.2×4000/60000 = 0.0133

Otra forma de decirlo será: cuando la cuantía geométrica sea menor de 4 veces la cuantía geométrica mínima, o sea, As/b.d < 0.00333.4 = 0.0133 la ecuación obtenida es completamente segura.

Nótese que en todo el rango de aplicación de a fórmula, la cantidad de refuerzo obtenida siempre supera la calculada por métodos más precisos. Si se aplica la fórmula para cuantías mayores, entonces la fórmula da valores menores que lo que realmente requiere la sección.

A continuación, veamos dos ejemplos, el primero a mediados del rango válido y el segundo fuera del rango.

Primer ejemplo para verificar la fórmula aproximada:

 

1.) Sección A 12″x24″ f’c = 4000 psi d = 22″ Mu = 155 kip.ft

 

Cálculo exacto: As = 1.66 in2

 

Aplicando la fórmula aproximada:

 

As = 155 kip.ft/4×22.in As = 1.76 in2 6 % mayor As/bd = 1.76 in2   /12 inx22 in = 0.0066  < 0.0133 O.K.

 

Nótese que en este caso la cuantía geométrica es aproximadamente la mitad de 0.0133, correspondiendo a la zona intermedia de validez que se ha señalado. En esta zona es donde debe ocurrir la diferencia máxima entre el valor real y el calculado aproximadamente, siempre del lado seguro.

Segundo ejemplo para verificar la fórmula aproximada:

 

2.) Sección B 12″x24″ f’c = 4000 psi d = 22″ Mu = 380 kip.ft

 

Cáculos exactos: As = 4.52 in2

 

Aplicando la fórmula aproximada: 

 

As = 380 kip.ft/4×22.in As = 4.32 in2

 

As/bd = 4.32 in2 /12 inx22 in = 0.0164 > 0.0133 No válida.

 

Concluido el objetivo planteado inicialmente de obtener la ecuación simplificada a partir de la función real μu vs ωR de las vigas de sección rectangular, nos encontramos con algo interesante al transformar desde la ecuación nominal μR vs ωR a la ecuación μu vs ωR. Aclaramos que lo que se expondrá no tiene nada que ver con lo de la fórmula aproximada, pero resulta de interés y queremos comentarlo por su importancia.

 

 

 

Nótese que al transformar de la ecuación nominal μR vs ωR a la ecuación μu vs ωR mediante la multiplicación de μR por ϕ, a partir de ωR = 0.271 (εt = 0.005) hasta ωR = 0.433 (εt =0.002) el valor de ϕ disminuye de 0.9 hasta 0.65, dando como resultado que μu se mantiene casi constante en todo ese tramo.

Esto trae como consecuencia que la capacidad de la sección no se incrementa aun cuándo se incrementa la cantidad de refuerzo.

Se deduce que no conviene diseñar la sección con un refuerzo superior a ωR = 0.271 lo que equivale a decir, que se estaría gastando innecesariamente una cantidad de refuerzo sin lograr incremento de la capacidad de la sección.

Para completar el rango de evaluación de la formula aproximada se puede obtener una nueva fórmula que abarque el tramo en que ωR > 0.2. Como se aprecia en la Fig. 3, que se ha obtenido en forma similar una nueva ecuación B para este tramo:

 

 

    As :=   Mu

     3.8⋅d

 

que siempre estará del lado seguro en todo el rango superior a ωR > 0.2

 

Conclusiones y recomendaciones

 

3.1) El primer paso fue deducir la ecuación aproximada a partir de la formulación exacta de una sección rectangular sometida a flexión. Se comprueba que la ecuación aproximada es una simplificación de cálculos más complejos a partir de suponer una función lineal del comportamiento real.

 

3.2) La ecuación As = Mu/4xd es completamente válida y segura dentro de un rango de aplicación. Mientras que la cuantía geométrica sea inferior a 4 veces la cuantía geométrica mínima, la fórmula es totalmente confiable.

 

3.3) En el rango de aplicación señalado, la diferencia por exceso no sobrepasa del 6 % del refuerzo calculado exactamente. Esto ocurre aproximadamente a la mitad del rango de validez.

3.4) Para ampliar el rango de aplicación de la formula aproximada se obtuvo una modificación de la formula original As = Mu/3.8xd que igualmente es segura cuando ωR es mayor que 0.2.

 

3.5) En la Fig 3 se aprecia que, aunque la norma considera como viga el rango de ωR entre 0.271 y 0.31, no es conveniente diseñar en este rango porque se gasta innecesariamente refuerzo sin un aumento significativo de la capacidad de la sección.

 

3.6) Después de terminado este análisis, en la nueva versión del Código ACI 318 – 19 se introdujo una modificación y ahora las vigas tendrán como límite εs < 0.005 para que coincida el límite de fallo frágil con el límite de control de tensión para ϕ =0.9. Luego queda solucionado el problema indicado en la sección anterior.

 

 

Dibujos estructurales: Eastern Engineering Group.

© 2021 Este artículo ha sido escrito por Ernesto Valdes y publicado por Eastern Engineering Group. Todos los derechos reservados.